1 Respuesta
Vamos a intentar despejar la función:
$$\begin{align}&3x^2+y^2 = 2(x^2+1)\\ &\\ &3x^2+y^2 = 2x^2+2\\ &\\ &y^2 =-x^2+2\\ &\\ &y^2+x^2=2\\ &\\ &\text{¡Hey!Hemos descubierto que es una circunferencia de radio }\sqrt 2\\ &\text {Pero mejor despejamos la y}\\ &\\ &y = \pm \sqrt{2-x^2}\\ &\\ &\text{calculamos la derivada}\\ &\\ &y´=\pm \frac{-x}{\sqrt{2-x^2}}\\ &\\ &\\ &\text{Y ya sabemos que la tangente en x_0 es:}\\ &\\ &y= f(x_0)+f´(x_0)(x-x_0)\\ &\\ &\text{Las tangentes de la semicircunferencia superior serán:}\\ &\\ &y = \sqrt{2-x_0^2}-\frac{x_0(x-x_0)}{\sqrt{2-x_0^2}}=\\ &\\ &\frac{2-x_0^2-x_0x+x_0^2}{\sqrt{2-x_0^2}}\\ &\\ &y= \frac{2-x_ox}{\sqrt{2-x_0^2}}\\ &\\ &\\ &\text{Y para la semicircunferencia inferior}\\ &\\ &y = -\sqrt{2-x^2}+\frac{x_0(x-x_0)}{\sqrt{2-x_0^2}}=...\\ &\\ &\text {es justo el opuesto de lo anterior}\\ &\\ &y= \frac{x_0x-2}{\sqrt{2-x_0^2}}\\ &\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
Quisiera saber si esto se podría hacer sin despejar la y.
Ya que el profesor de mi hijo en la prueba dijo que no habia que hacerlo.
Nosotros considerabamos que si había que hacerlo por que no había otra forma Es así o no??
Necesitaría saber que le han enseñado a tu hijo, no solo el curso que está haciendo.
Básicamente se puede hacer de dos formas, calculando la tangente por la derivada tal como he hecho o hallando la recta que tiene un solo punto de contacto con la curva.
Te lo hago de esa forma, pero lo que no despejemos al principio acabaremos despejándolo al final.
Sea y=ax+b y vamos a calcular los puntos de corte con la curva.
Para ello sustituimos este valor en la curva
$$\begin{align}&\frac{3x^2+y^2}{x^2+1} = 2\\ &\\ &\frac {3x^2+(ax+b)^2}{x^2+1}=2\\ &\\ &\frac {3x^2+a^2x^2+2abx+b^2}{x^2+1}=2\\ &\\ &3x^2+a^2x^2+2abx+b^2=2x^2+2\\ &\\ &x^2+a^2x^2+2abx+b^2-2 = 0\\ &\\ &(a^2+1)x^2+2abx +(b^2-2)=0\\ &\\ &x = \frac{-2ab\pm \sqrt{4a^2b^2-4(a^2+1)(b^2-2)}}{2a^2+2}\\ &\\ &\text{Habrá un solo corte si el discriminante es cero}\\ &\\ &4a^2b^2 - 4a^2b^2+8a^2-4b^2+8=0\\ &\\ &8a^2 -4b^2 +8 = 0\\ &\\ &4b^2= 8a^2+8\\ &\\ &b= \pm \sqrt{2a^2+2}\\ &\\ &a^2=\frac{4b^2-8}{8}= \frac{b^2-2}{2}\\ &\\ &a=\pm \sqrt{\frac{b^2-2}{2}}\\ &\\ &\text{Luego una recta tangente será de la forma}\\ &\\ &y = \pm\; x \sqrt{\frac{b^2-2}{2}}\; +b\\ &\\ &\text{Para todo b tal que }b^2 \ge2\end{align}$$Aunque puedan no parecer iguales son las mismas rectas que las de la otra forma de hacerlo. Mientra que aquí la b significa el corte con el eje Y e las otras el x0 significaba la coordenada x de contacto entre la recta y la circunferencia, por eso la expresión es diferente.
Y eso es todo, mira a ver si es esto y si no tendríais que explicarme mejor qué significa eso de no despejar la variable y, asi como decirme como han resuelto algún problema similar.
