Calcular la integral que contiene funciones trigonométricas

Pongamos la función del seno correspondiente

$$\int \frac{dx}{senx}$$

Haremos el cambio que vimos antes

$$\begin{align}&tg(x/2)=t\\ &\\ &\\ &senx=\frac{2t}{1+t^2}\quad cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ &\\ &\\ &dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\ &\\ &\\ &\text{con lo cual}\\ &\\ &\int \frac{dx}{senx}=\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}=\int \frac{dt}{t}=\\ &\\ &lnt+C=ln\left[tg\left(\frac x2\right)\right]+C\\ &\end{align}$$

Pero ya sé yo que no da gusto dejar las integrales en función del ángulo mitad.

Tenemos que

$$\begin{align}&tg(x/2)=\sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}}\\ &\\ &I=ln \left(\sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}}\right)+C\\ &\\ &\text{Que es mucho más fácil de comprobar así}\\ &\\ &I=\frac{ln(1-cosx)-ln(1+cosx)}{2}+C\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.