Problema sistema de ecuaciones
Hola experto tengo el siguiente problema y no sé cómo plantear el sistema de ecuaciones que piden:
Entre Ana, Isabel y Luis tienen 130 euros, Ana tiene el doble de euros que Isabel y Luis tiene 10 euros más que Isabel:
Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que exprese cada uno de los tres datos dados.Resuelve el sistema anterior por el método de Gauss.
Muchas gracias.
1 Respuesta
Vamos a usar las variables clásicas porque la i y la l son muy feas con la fuente de esta página
x = Ana
y = Isabel
z = Luis
La primera está clara
x + y + z = 130
Luego lo da Ana es el doble que lo de Isabel
x = 2y
Y lo de Luis es lo de Isabel mas 10
z = y +10
Puestas en forma normal son
x+y+z = 130
x-2y = 0
-y+z = 10
Ahora hay tiempo de pensar un poquito y yo veo que saldrá mas fácil poniendo la primera ecuación en último lugar
1 -2 0| 0 1 -2 0| 0 1 -2 0| 0 0 -1 1| 10 ~ 0 -1 1| 10 ~ 0 -1 1| 10 1 1 1|130 0 3 1|130 0 0 4|160
Y ya no hacen falta más matrices. Las operaciones han sido bien simples, en el primer paso se restó la primera a la tercera, en el segundo se sumó a la tercera la segunda por 3.
4z=160
z=40
Ahora vamos a la segunda
-y + 40 = 10
-y = -30
y = 30
Y ahora a la primera
x + 30 + 40 = 130
x = 130 - 30 - 40 = 60
Luego la solución es
x = Ana = 60 €
y = Isabel = 30 €
z = Luis = 40 €
Y eso es todo.
Lo he entendido muy bien pero me podría explicar qué método utiliza usted porque me lío cuando falta alguna incógnita.
Gracias y saludos.
Bueno no lo escribí pero antes de poner la matriz decía que cambiaba el orden de las ecuaciones. Y bien que venía porque si no quedaba muy difícil. Entonces el orden del las ecuaciones quedaba así:
x-2y = 0
-y+z = 10
x+y+z = 130
De ahí se cra la matriz. Cuando falta alguna incógnita se pone un cero, los coeficientes de la x siempre irán a la primera columna, los de y a la segunda y los de z a la tercera
1 -2 0| 0 0 -1 1| 10 1 1 1|130
Para hacer un cero en la tercera fila le tenemos que restar la primera
1 -2 0| 0 0 -1 1| 10 0 3 1|130
Ahora tenemos que hacer un cero donde está el 3 de la tercera fila, para ello hay que multiplicar la segunda por 3 y sumársela
1 -2 0| 0 0 -1 1| 10 0 0 4|160
Y cuando debajo de la diagonal principal tenemos todo ceros ya no es preciso seguir. Si consideras ahora las ecuaciones de abajo arriba tenemos
4z = 160
-y + z = 10
x -2y = 0
Que se resuelven sin más que ir en orden
De la primera se deduce z = 40
Si vamos con ese 40 a la segunda tenemos
-y + 40 = 10
-y = -30
y = 30
y si vamos con este valor a la tercera
x - 2·30 = 0
x - 60 = 0
x = 60
Con lo cual
x=60, y=30, z=40
Y eso es todo.
