Ejercicios análisis matemático

U no pertenece a S y s* si pertenece a S, luego son distintos y uno será mayor que el otro.

1) Si u>s*

sup(s*,u) = u

u es una cota superior de SU{u} porque

x<=s*<u para todo x € S

Y es la menor cota superior porque si se toma una menor el elemento u será mayor que ella.

Luego sup(SU{u}) = u = sup(s*, u)

2) Si u<s*

entonces sup{s*,u} = s*

s* era supremo de S y es mayor que u, luego es una cota superior de SU{u}

Y es la menor cota superior, porque si existiera una menor se contradiría que s* es el supremo de S

Luego Sup(SU{u}) = s* = sup(s*, u)

Y de las dos se deduce

Sup(SU{u}) = sup (s*, u)

Y eso es todo.