¿Cómo se hace este ejercicio?

Si un polinomio es divisible por x+2 significa que cuando a x le damos el valor -2 el polinomio vale cero

P(-2) = (-2)^4 + (1-a)(-2)^2 - a = 16 + 4(1-a) -a = 0

4(1-a) - a = -16

4 - 4a - a = -16

-5a = -20

a = 4

Luego el polinomio es

P(x) = x^4 +(1-4)x*2 = x^4 - 3x^2 - 4

La raíz x = -2 ya la conocemos

Usaremos Ruffini

      1   0  -3   0  -4
-2       -2   4  -2   4
      -------------------
      1  -2   1  -2 | 0
2         2   0   2
      --------------
      1 0 1 | 0

La primera fue usando la raíz conocida para calcular el polinomio que quedaba al dividir y en la segunda fui probando con 1, -1 y 2 que fue el que daba resto 0

Y el polinomio que queda al final es x^2+1 que no tiene soluciones reales

Luego las raíces reales son -2 y 2

La descomposición factorial es

P(x) =(x+2)(x-2)(x^2+1)

Y eso es todo.

Una pregunta como te das cuenta que x^2+1 no tiene soluciones reales?. Gracias

No tiene soluciones reales porque siempre vale mas que 1. Todo numeró elevado al cuadrado es positivo y si le sumas 1 será siempre mayor o igual que 1, con lo cual nunca podrá valer cero, que es cuando se dice que tiene un raíz.

O si la quieres resolver tendrás

x^2 + 1 = 0

x^2 = -1

x = +- sqrt(-1)

Pero un número negativo no tiene raíz cuadrada real, la tiene imaginaria.