Integral indefinida por medio de los métodos:rectangular, de simpson y método de los trapecios

Todo consiste en evaluar la función en una seré de puntos separados a igual distancia. P^Ra poder usar el método de Simpson el número de divisiones del intervalo debe ser par

Vamos con el primero. Como no me dices entre dónde y dónde y cuántos intervalos hay que tomar lo decidiré yo.

Integraré entre 0 y 1 y haré 4 divisiones. El paso h= 1/4

Entonces los puntos de evaluación de la función serán

X arcsen(sqrt(x))
0 0
0.25    pi/6
0.5     pi/4
0.75    pi/3
1 pi/2

Para el método de los rectángulos se toman los 4 primeros o los cuatro últimos

Integral1 = (1/4)(0 + pi/6 + pi/4 + pi/3) = (1/4) (9pi/12) = 9pi/48 = 3pi/16

Integral2 = (1/4)(pi/6 + pi/4 + pi/3 + pi/2) (1/4)(15pi/12) = 15pi/48 = 5pi/16

Para el método de los trapecios. Si ya hemos hecho los rectángulos se toma la semisuma de ellos. Y si no lo hemos hecho, se toman se toman los centrales y los de las esquinas divididos por 2

Integral = (1/4) (0/2 + pi/6 + pi/4 + pi/3 + (pi/2)/2) =

(1/4)(pi/6 + pi/4 + pi/3 + pi/4) = (1/4)(12pi/12) =pi/4

Para el método de Simpson la fórmula es

Para 2 divisiones (h/3) (y0 + 4y1 + y2)

Para otro número par de divisiones se hace cada grupo de dos divisiones y se suman, pero se puede simplificar un poco si se usan estas fórmulas, donde cada vez se añade un grupo 2y(i) + 4y(i+1)

Para 4 divisiones (h/3)(y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + y4)

Para 6 divisiones (h/3)(y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + 4y5 + y6)

Como no sé si te habrán enseñado esa simplificación lo hacemos sin ella

En el primer grupo de 2 tendremos

[(1/4) / 3](0 + 4pi/6 +pi/4) = (1/12)(11pi/12) = 11pi/144

En el segundo grupo será

[(1/4)/3](pi/4 + 4pi/3 + pi/2) = (1/12)(25pi/12) = 25pi/144

Y los sumamos

11pi/144 + 25pi/144 = 36pi/144 = pi/4

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Manda el otro en otra pregunta. Y dime cuáles son los límites de integración y el paso.