Buenas quería ver si me podrías ayudar con este ejercicio de variable compleja

Desconozco cuanta teoría habréis dado, supondré que has dado esta igualdad.

$$senz=sen(x+iy)=senx·chy+i·cosx·shy$$

donde aplico la simplificación que se usa (o al menos se usaba) aquí en España

sh = seno hiperbólico

ch = coseno hiperbólico

Entonces las desigualdades que dices son

$$\begin{align}&\text{Sobre un lado vertical}\\ &\\ &x=\pm \left(N+\frac 12  \right)\pi=\frac{3\pi}{2},-\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2},-\frac{5\pi}{2},...\\ &\\ &luego \quad senx=\pm 1\text{ y por lo tanto}\\ &|senz|\ge |senx|=1\\ &|senz|\ge 1\\ &\\ &\text{Sobre los lados horizontales}\\ &\\ &y=\pm \left(N+\frac 12  \right)\pi=\frac{3\pi}{2},-\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2},-\frac{5\pi}{2},...\end{align}$$

El seno hiperbólico es una función creciente y positiva si la variable es positiva, luego si y>pi/2 tendremos

shy > sh(pi/2)

como ambos son positivos

|shy| >|sh(pi/2)|

Y si la variable es negativa la función tiene el valor opuesto. Para y <-pi/2 tendremos

shy = -sh(-y) < -sh(pi/2)

-shy > sh(pi/2)

y al ser y negativo tenemos shy negativo con lo cual -shy = |shy|

|shy| > |sh(pi/2)|

Luego si |y| > pi/2 se cumple

|shy| > |sh(pi/2)|

Todo esto puedes verlo más claro si haces la gráfica de shx que para lo nos importa es parecida a la de x^3.

Y haciendo uso de la igualdad que nos decían

|senz| >= |shy| > |sh(pi/2)|

|senz| > |sh(pi/2)|

sii esta perfecto muchas gracias enserio :D ... abusando de tu ayuda el inciso b dice:

demostrar que existe una constante positiva A independiente de N ,tal que |senz| >=A para todos los puntos z del contorno y demostrar que el modulo de la integral dz/ (z^2 * senz) sobre ese mismo contorno es <= 16/(2N+1)pi*A