Integral (x^3+x^2+x+3/(x^2+1)(x^2+3))dx por el metodo de fracciones simples

Pues por ls visto en internet se debe hacer una descomposición del estilo

(x^3+x^2+x+3)/[(x^2+1)(x^2+3)] = (ax+b)/(x^2+1) + (cx+d)/(x^2+3) =

(ax+b)(x^2+3)+(cx+d)(x^2+1) /[(x^2+1)(x^2+3)]

Soltemos lastre, vamos a operar simplemente el numerador que desde ser igual al que hay al inicio:

ax^3+3ax+bx^2+3b+cx^3+cx+dx^2+d = (a+c)x^3 + (b+d)x^2 + (3a+c)x + 3b+d

Igualando coeficientes tenemos con el numerador inicial tenemos

a + c = 1

b + d = 1

3a + c = 1

3b + d = 3

Si a la tercera le restamos la primera

2a = 0 ==> a = 0 ==> c = 1

Si a la cuarta le restamos la segunda queda

2b = 2 ==> b= 1 ==> d=0

Luego la integral inicial es la suma de estas dos

$dx/(x^2+1) + $xdx/(x^2+3) =

arctg(x) + (1/2)ln|x^2+3| + C

Y se comprueba muy fácilmente que la derivada da la función inicial.

Y eso es todo, me asusté al principio pero ha sido muchísimo más fácil de lo que pensaba. Hay otras que son más difíciles.