Propiedades de sumatoria
calcular el valor de S= __1__ + __1___+ __1___ + __1___ +....
20 x 7 28 X9 36 X 11 44X 13
(20 TÉRMINOS )
1 respuesta
Lo primero que haremos es sacar de factor común 1/4
$$S=\frac{1}{4} \left ( \frac{1}{5·7}+\frac{1}{7·9}+\frac{1}{9·11}+\frac{1}{11·13}+...+\frac{1}{43·45} \right)=$$Este es el que digo que no es nada fácil. No encuentro fórmula que simplifique la suma. Entonces supongo que habría que hacer la suma de 20 fracciones.
Ya me dirás si se puede hacer así o hay que conseguir una fórmula que lo haga de forma más inmediata.
A lo mejor estudiando más lo consigo, pero tampoco tengo todo el tiempo para dedicar a un problema.
De todas formas podrías decirme si habéis hecho alguno igual.
Como te decía, no hay formula sencilla que simplifique esta operación.
Si aplicamos el algoritmo de la suma de fracciones sumando 1º con 2º, luego el resultado con el 3º, etc., poniendo como denominador común los productos (5·7), (5·7·9), (5·7·9·11), etc., tendremos una formula recurrente para el numerador
n1=1
n2=1·9 + 5·1
n3=(1·9 + 5·1)·11 + 5·7
n4=[(1·9 + 5·1)·11 + 5·7]13 + 5·7·9
Eso puede expresarse como
$$\begin{align}&n_i= n_{i-1}·(5+2i)+\prod_{k=1}^{i-1}(3+2k)\\ &\\ &\\ &n_1=1\\ &n_2 = 1·9+5 = 14\\ &n_3 = 14·11+5·7 =189\\ &n_4 = 189·13+5·7·9=2772\\ &n_5 = 2772·15+5·7·9·11 =45045\end{align}$$Bueno ya ves que es laborioso y complicado.
Solo hemos calculado 5 numeradores y se disparan los números, enseguida ya empezarán a ser inexactos.
Luego veo que el problema se escapa de unas posibilidades medias-altas. Solo si se quiere hacer un trabajo de chinos se haría.
Y eso es todo.
