Hallar la ecuación de la circunferencia

Tampoco es correcto, supongo que será halla la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos de intersección de las circunferencias.

Hay que resolver este sistema

x^2 +y^2+3x-2y-4=0

x^2+y^2-x-y-6=0

Como ambas son 0 podemos igualarlas

x^2 +y^2+3x-2y-4 = x^2+y^2-x-y-6

3x-2y-4 = -x-y-6

4x - y + 2= 0

y = 4x+2

Y ahora este valor de y lo podemos poner en una de las dos ecuaciones, lo pondré en la segunda que tiene coeficientes más sencillos

x^2 + (4x+2)^2 - x - 4x - 2 - 6 = 0

x^2 + 16x^2 + 4 + 16x -x - 4x - 2 - 6 = 0

17x^2 + 11x - 4 = 0

resolvemos esa ecuación de segundo grado

$$\begin{align}&x=\frac{-11\pm \sqrt{121+4·4·17}}{34}=\\ &\\ &\frac{-11\pm \sqrt{393}}{34}\end{align}$$

Bueno, otra vez son respuestas irracionales, que mala gana.

Calculadas las coordenadas x calculamos las coordenadas y

$$\begin{align}&y=4x+2=4\left( \frac{-11\pm \sqrt{393}}{34}\right)+2 =\\ &\\ &\frac{-44+68\pm4 \sqrt{393}}{34}=\frac{24\pm 4 \sqrt{393}}{34}=\\ &\\ &\frac{12\pm 2 \sqrt{393}}{17}\end{align}$$

Y ahora calculamos la recta que pasa por esos dos puntos, en ecuación paramétrica será uno de los puntos más el vector que los une

$$\begin{align}&y=4x+2=4\left( \frac{-11\pm \sqrt{393}}{34}\right)+2 =\\ &\\ &\frac{-44+68\pm4 \sqrt{393}}{34}=\frac{24\pm 4 \sqrt{393}}{34}=\\ &\\ &\frac{12\pm 2 \sqrt{393}}{17}\\ &\\ &v=\left(\frac{-11+ \sqrt{393}}{34}-\frac{-11- \sqrt{393}}{34},\;\frac{12+ 2 \sqrt{393}}{17} - \frac{12- 2 \sqrt{393}}{17}\right)\\ &\\ &\\ &\\ &v=\left(\frac{\sqrt{393}}{17},\frac{4 \sqrt{393}}{17}  \right)\\ &\\ &\text{tomamos uno paralelo sencillo }(1,4)\\ &\\ &\frac{x-\frac{-11- \sqrt{393}}{34}}{1}=\frac{y-\frac{12- 2 \sqrt{393}}{17}}{4}\\ &\\ &\\ &y = 4x-\frac{-22-2 \sqrt{393}}{17}+\frac{12- 2 \sqrt{393}}{17}\\ &\\ &y = 4x +\frac{34}{17}\\ &\\ &\\ &y = 4x+2\end{align}$$

La recta es y = 4x+2

Y parece mentira que haya habido que hacer cálculos tan complejos para llegar a un resultado tan fácil, pero ese es el resultado. Y sobre si se podría haber hecho más fácilmente (aparte de haber operado con la calculadora y números decimales) no sé cómo y sin saber toda la teoría que estéis dando.