¿Cuándo una función tiene asíntotas oblicuas?

Una función tiene una asíntota oblicua cuando en el infinito se aproxima a una recta tan cerca como queramos.

Eso se expresa con la terminología de los límites de la siguiente forma.

Sea una función f(x) y una recta y=mx+b con m distinto de cero

Diremos que la recta y es una asíntota oblicua de f(x) si y solo si

$$\lim_{x \to \pm \infty} [f(x)- mx -b]=0$$

De esta definición se deduce la forma de decidir y calcular si hay una asíntota oblicua.

$$\begin{align}&\lim_{x \to \pm \infty} [f(x)- mx -b]=0 \iff\\ &\\ &\lim_{x \to \pm \infty} [f(x)]- \lim_{x \to \pm \infty}[mx +b]=0 \iff\\ &\\ &\lim_{x \to \pm \infty} [f(x)]- \lim_{x \to \pm \infty}mx =0 \iff\\ &\\ &\lim_{x \to \pm \infty} f(x)= \lim_{x \to \pm \infty}mx \iff\\ &\\ &\lim_{x \to \pm \infty} f(x)= m\lim_{x \to \pm \infty}x \iff\\ &\\ &\\ &m=\frac{\lim_{x \to \pm \infty} f(x)}{\lim_{x \to \pm \infty}x } \iff\\ &\\ &m=\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}\\ &\\ &\end{align}$$

Luego hay asíntota oblicua si y solo si ese límite es finito y distinto de cero. Y el valor de ese límite es la pendiente m de la recta asintótica.

Si se cumple lo anterior, el b de la recta se calcula mediante

$$b=\lim_{x \to \pm\infty}[f(x)-mx]$$

La dirección viene dada por m, puede ser cualquier valor real excepto el cero, luego puede haber infinitas direcciones, no solo una como preguntas. Y la asíntota en + infinito y -infinito puede ser la misma o distinta.

Y eso es todo.