Me pueden ayudar con los dos siguientes problemas de análisis vectorial, ¿Sobre integrales iterada?
Enunciado 1: calcular el area de la región acotada por las gráficas 2y=16-x^2; x+2y-4=0, realizar la integral con el TIPO II (dx dy) (el resultado es 343/12) (inciso: el profesor nos explico que al ser de tipo dos, el suelo de la region varía entre recta/parabola y parábola/parábola, por lo que se dividira en dos trozos) Me interesa conocer los limites de integración y la resolución.
Enunciado 2: integrar f(x,y)=abs[y-sin(x)], en el conjunto D[0,pi]x[0,1]
1 Respuesta
Si, es como dice el profesor, con el gráfico lo entenderás todo.
Al hacerlo como una integral de tipo II se intercambian lo papeles de los ejes, la variable de integración es la y y los límites son valores de la y entre los que está la función. Vemos que hay dos zonas, En la rosa la y varía entre 0 y 3.5, en la amarilla varía entre 3.5 y 8.
Pero debemos resolverlo analíticamente, el dibujo es orientativo pero no debemos usarlo para para tomar los datos de el.
Como la varible de integración es la y debemos expresar x como función de y
2y=16-x^2
x = +- sqrt(16-2y)
x+2y-4=0
x = 4-2y
La intersección es
+- sqrt(16-2y) = 4-2y
16-2y = 16 - 16y +4y^2
4y^2 - 14y =0
y=0
4y -14 = 0
y= 14/4 = 7/2
Luego los cortes son en y=0 y 7/2 como podemos ver.
Y el vértice es (0,8)
El área es
$$\begin{align}&A=\int_0^{7/2}(\sqrt{16-2y}-4+2y)dy+\\ &\\ &\int_{7/2}^8(\sqrt{16-2y}-(-\sqrt{16-2y}))dy=\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\left[-\frac 13(16-2y)^{3/2} -4y+y^2 \right]_0^{7/2}+\\ &\\ &\left[-\frac 23(16-2y)^{3/2}\right]_{7/2}^8=\\ &\\ &-\frac 13 9^{3/2}-14+\frac{49}{4}+\frac 13 16^{3/2}-0+\frac 23 9^{3/2}=\\ &\\ &-9-14+\frac {49}{4}+\frac{64}{3}+18=\\ &\\ &\frac{-60 + 3·49+4·64}{12}=\frac{343}{12}\end{align}$$Y eso es todo.
gracias, lo tenia hecho gráficamente y hasta hecho con matlab
mi fallo era en la segunda integral, que la tenia entre 7/2 y 0 en vez de tenerla entre 8 y 7/2
