Solución ejercicio 4b pagina 406

El cambio de las cilíndricas es

$$x=\rho\,\cos \theta,\quad y=\rho\,sen\,\theta, \quad z=z$$

El jacobiano es

$$\begin {vmatrix}
\cos \theta&-\rho\,sen\,\theta& 0\\
sen \,\theta&\rho\,\cos \theta&0\\
0&0&1
\end{vmatrix}=\rho \cos^2\theta+\rho sen^2\theta=\rho$$

$$\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\int_{-\sqrt{4-x^2-y^2}}^{\sqrt{4-x^2-y^2}}xyz\; dz\,dx\,dy$$

En el plano xy el dominio es un círculo de radio 1 con centro en(0,0. Lo cual en cilíndricas se resuelve variando ro entre 0 y 1 y theta entre 0 y 2Pi

Otra cosa interesante de este cambio es que x^2+y^2 = ro^2.

La integral será

$$\begin{align}&\int_0^1\int_0^{2\pi}\int_{-\sqrt{4-\rho^2}}^{\sqrt{4-\rho^2}}\rho\,\cos \theta·\rho\,sen \theta·z·\rho \;dz\,d\theta\,d\rho =\\ &\\ &\int_0^1\int_0^{2\pi}\int_{-\sqrt{4-\rho^2}}^{\sqrt{4-\rho^2}}\rho^3\,z\,\cos \theta sen \theta \;dz\,d\theta\,d\rho =\\ &\\ &\frac 12\int_0^1 \rho^3\int_0^{2\pi}sen \,2\theta\int_{-\sqrt{4-\rho^2}}^{\sqrt{4-\rho^2}}\,z\, \;dz\,d\theta\,d\rho\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.