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a) Supongamos que Y no es infinito.
Entonces o Y es vacío o existe n tal que hay una aplicación biyectiva g de Y en In
Si Y es vacío no puede haber una aplicación inyectiva de X en Y ya que X no es vacío porque sería finito.
Luego supongamos que existe ese n y la aplicación biyectiva g de Y en In
Entonces la aplicación composición gof es una aplicación de X en In que es inyectiva por ser composición de inyectivas.
Yo creo que con eso es suficiente, tenemos una aplicación inyectiva de un conjunto infinito en uno finito, eso es incluso más a nuestro favor que si fuera biyectiva.
Y si queremos ser estrictos y usar solo lo del libro haríamos esto:
Tomamos los elementos de Im(f) y los los ordenamos mediante
y1 <= y2 si y solo si g(y1)<=g(y2)
Como g es inyectiva de Y en In, son un nuero finito de ordenaciones las que hay que hacer y habrá primero, segundo, etc. Entonces haremos que la aplicación biyectiva g lleve el primer elemento de Im(f) al 1 de In, eso se consigue haciéndolo como dice el lema 1. Lo hacemos luego con el segundo elemento y así hasta terminar con todos los elementos de Im(f). Este último elemento será llevado un número m <= n
La nueva aplicación biyectiva que hemos creado de Y en In llamémosla h
Entonces hof es una aplicación de X en Im y es biyectiva, con lo que X sería finito. Eso es absurdo porque X es infinito por hipótesis.
Luego la suposición de que Y no es infinito es falsa y debe ser infinito.
b) Si Y es infinito y f de X en Y es sobreyectiva entonces X es infinito.
Supongamos que X es finito.
Entonces X es vacío o existe n tal que g biyectiva de In en X.
Si X es vacío no puede haber aplicación sobreyectiva porque Y es infinito.
Luego existe ese n que y esa aplicación biyectiva g de In en X
La composición gof nos da una aplicación sobreyectiva de In en Y
En el conjunto X establezcamos una relación de equivalencia
x1 ~ x2 si y solo si f(x1)=f(x2)
Eso nos crea un conjunto cociente X/~
De la aplicación f creamos una h de X/~ en Y mediante
h({x}) = f(x) donde {x} es la clase de equivalencia del elemento x
y en In hacemos también la relación de equivalencia
i ~ j si y solo si g[f(i)] = g[f(j)]
Se crea un conjunto cociente In/~ biyectivo con un Im con m < n
Y definimos la aplicación k de In en X
k({i}) = f(i)
Bueno, pues la aplicación hok es biyectiva de In/~ en Y, compruébalo si quieres.
Y In/~ era biyectivo con un Im, luego Im biyectivo con Y
Luego Y es finito. Pero eso es absurdo porque Y es infinito por hipótesis.
Luego la suposición de que X es finito es falsa y es infinito.
Y eso es todo.
