Permutaciones, álgebra moderna

Esta página me va a volver loco. Ya había respondido a esta pregunta pero la da como no contestada, tendré que escribirla de nuevo.

Te decía que el ejemplo es S3, del que ya calculamos los subgrupos en otro ejercicio. Los subgrupos propios eran 3 generados cada uno por un 2-ciclo, isomorfos entre sí de forma que lo comprobamos unicamente con uno

<(1,2)> = {e, (1,2)}

En este subgrupo todas las operaciones que hay son

ee =e

e(1,2) = (1,2)

(1,2)e = (1,2)

(1,2)(1,2) = e

Todas son conmutativas.

Y el otro subgrupo propio era el generado por el 3-ciclo

<(1,2,3)> = {e, (1,2,3), (1,3,2)}

Las operaciones con e y de un elemento consigo mismo ya sabemos que son siempre conmutativas, comprobemos entonces la única que hay entre dos elementos distintos que no sea e ninguno de ellos

(1,2,3)(1,3,2) = e

(1,3,2)(1,2,3) = e

Luego conmutan todas.

Y eso es todo, espero que te sirva, lo hayas entendido y esta vez te llegue.