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Un polinomio de grado 5 no siempre se puede factorizar, pero es de suponer que lo habrán puesto de forma que se pueda, teniendo suficientes raíces enteras o como mucho racionales para poder ir factorizándolo paso a paso.
Si tuviera raíces racionales serían de la forma p/q con p divisor del termino libre (que es -1) y q divisor del coeficiente de grado mayor que es 12
Esto daría estas posibilidades
{1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/4, -1/4, 1/6, -1/6, 1/12, -1/12}
comenzamos probando con el más sencillo el 1, veamos si p(1) = 0
12 - 8 - 13 + 9 + 1 - 1 = 0
Luego 1 es raíz, vamos a calcular el cociente de p(x) /(x-1) por Ruffini.
12 -8 -13 9 1 -1
1 12 4 -9 0 1
---------------------
12 4 -9 0 1 |0tenemos
p(x) = (x-1)(12x^4 + 4x^3 - 9x^2 +1)
llamando q(x) = 12x^4 + 4x^3 - 9x^2 + 1
Y seguimos probando el 1 por si acaso es una raíz repetida
q(1) = 12+4-9+1 = 8
q(-1) = 12 - 4 - 9 + 1 = 0
Luego x=-1 es raíz, volvemos a dividir por Ruffini.
12 4 -9 0 1
-1 -12 8 1 -1
----------------
12 -8 -1 1 |0p(x) = (x-1)(x+1)(12x^3 - 8x^2 - x +1)
llamando r(x) = 12x^3 - 8x^2 - x + 1
Seguímos probando con -1 por si es raíz doble
r(-1) = -12 -8 +1 + 1 = -18
r(1/2) = 12/8 - 8/4 - 1/2 + 1 = 3/2 - 2 - 1/2 + 1 = 2/2 - 1 = 1-1= 0
luego x=1/2 es raíz, volvemos a usar Ruffini.
12 -8 -1 1
1/2 6 -1 -1
--------------
12 -2 -2 |0p(x) = (x-1)(x+1)(x-1/2)(12x^2 - 2x - 2)
Llamando s(x) = 12x^2 - 2x - 2
Ahora ya podríamos resolver la ecuación para obtener las dos raíces si quisiéramos, y voy a hacerlo ya me cansé de Ruffini
x = [2 +- sqrt(4+96)] / 24 = (2 + - 10) / 24 = -8/24 y 12/24 = -1/3 y 1/2
luego
12x^2 - 2x - 2 = 12(x-1/2)(x+1/3)
Y en total tenemos
p(x) = 12(x-1)(x+1)(x-1/2)^2·(x+1/3)
Esa es la factorización ultima, también cualquiera de las intermedias o cualquiera que puedas hacer multiplicando algunos de estos factores sirve como factorización, pero yo creo que era esta la que te pedían. Y si no, más que has aprendido.
Y eso es todo.
