Evaluar la siguiente integral

Vamos a hacer algún truqillo

$$\begin{align}&\int \frac{1+e^x}{1-e^x}dx=\\ &\\ &t=e^x\\ &dt=e^xdx\implies dt=tdx\implies dx=\frac{dt}{t}\\ &\\ &=\int \frac{1+t}{1-t}·\frac{dt}{t}\\ &\\ &Hacemos\\ &\\ &\frac{1+t}{(1-t)t}=\frac {a}{1-t}+\frac bt=\frac{at+b-bt}{(1-t)t}\\ &\\ &b=1\\ &a-b=1\implies a=2\\ &\\ &=\int \frac {2dt}{1-t}+\int \frac{dt}{t}=\\ &\\ &-2ln|1-t|+ln|t|+C=\\ &\\ &-2ln|1-e^x|+ln|e^x|+C = \\ &\\ &x-2ln|1-e^x|+C\end{align}$$

Y eso es todo.