Posición relativa de dos rectas en forma paramétrica

En forma paramétrica la ecuación será algo asi

x = at + b

y = ct + d

O si lo ponemos como vector

(x, y) = (at+b, ct+d)

da lo mismo.

El caso es que de aquí se deduce que el vector director (bueno, un vector director) es

(a,c) y un punto de la recta es (b,d)

Si la otra recta es

x = a't + b'

y = c't + d'

Para que sean paralelas tienen que tener un vector de la misma dirección. Y para que dos vectores tengan la misma dirección uno de ellos debe ser el otro multiplicado por una constante.

(a, b) = k(a', b')

a=ka' ==> k =a/a'

b=kb' ==> k = b/b'

luego a/a' = b/b'

o si lo prefieres ab' = a'b

Si se cumple eso serán paralelas o coincidentes, si no se cumple serán secantes y ya está resuelto, salta las líneas siguientes.

Para distinguir si son coincidentes o simplemente paralelas toma el punto (b, d) de la primera y comprueba si pasa por la segunda

b = a't + b' ==> t = (b-b') / a'

d = c't + d' ==> t = (d-d') / c'

SI (b-b') / a' = (d-d') / c' serán la misma recta. Si no, solo paralelas. Pero recuerda que también se cumplía que a/a' = b/b' como condición previa.

Y eso es todo.