¿ Me puedes ayudar hacer este ejercicio? Estoy atorado
Utilizando inducción matemática, demostrar que para todo polinomio p(x) existe en que pertenece tal que d^n / dx^n [p(x) ]=0 para todo x que pertenece, gracias po tu atención.
1 respuesta
Hola nuevamente, definitivamente me lo exige el ejercicio, por tu atención gracias.
Pues lo que demostraremos es lo siguiente.
Si p(x) es un polinomio de grado m entonces el grado de la derivada enésima es:
m-n si m>n
0 si m<=n
que puede expresarse de forma única en términos del máximo
máx(m-n, 0)
Se puede empezar con n=0 o con n=1.
La derivada 0 es la propia función por que el grado de la función y la derivada son m y m-0=m
Si empezamos con la derivada 1 por la regla de derivación de la función f(x) = x^k tendremos
(x^k)' = k·x^(k-1) si k>0
(x^0)' = 0
La derivada primera de un monomio c·x^k será
c·k·x^(k-1) si k>0
0 si k=0
Y la derivada de la suma será la suma de las derivadas de todos los monomios.
Luego el grado de la derivada primera un polinomio de grado m será
máx(m-1, 0)
Ya está demostrado que se cumple para n=1, pero aparte hemos hecho un estudio que prácticamente resuelve la demostración
Ahora supongamos que se cumple para n, es decir, que para un polinomio de grado m se cumple que el grado de la derivada enésima de p(x) = max(m-n, 0)
Entonces el grado de la derivada n+1 es
máx[(m-n)-1, 0] = máx[m-(n+1), 0]
Luego se cumple para n+1 y queda demostrada la inducción.
Entonces de lo que hemos demostrado se deduce que dado un polinomio de grado m la derivada emésina tiene grado m-m = 0 (es una constante), entonces la derivada m+1 es 0.
Y eso es todo.
