Ejercicio 16 circulo osculador y curvatura.

Es la curva y=x^2 en el origen

Las derivadas primera y segunda

f '(x) = 2x

f ''(x) = 2

La curvatura es:

$$\begin{align}&K(x) =\frac{f''(x)}{\sqrt{\left[1+(f'(x))^2\right]^3}}=\frac{2}{\sqrt{(1+4x^2)^3}}\\ &\\ &K(0) = \frac{2}{1}=2\\ &\\ &\text{La curva en paramétricas es }r(t)=(t,t^2)\\ &\\ &x'(t) = 1\implies x'(0)=1\\ &y'(t) = 2t\implies y'(0)=0\\ &\\ &||f'(0)|| =\sqrt{1^2+0^2} = 1\\ &\\ &x''(t) = 0\implies x''(0) =0\\ &y''(t) = 2\implies y''(0) =2\\ &\\ &\\ &\text{Y el centro será}\\ &\left(x(0)- \frac{y'(0)}{K(0)||f'(0)||},y(0)+\frac{x'(0)}{K(0)||f'(0)||}  \right)=\\ &\\ &\\ &\left(0-\frac{0}{2·1},0+\frac{1}{2·1}  \right)= \left(0,\frac 12\right)\\ &\\ &\text{Y el radio es el inverso de la curvatura}\\ &\\ &R=\frac{1}{K(0)}=\frac 12\\ &\\ &\text {La ecuación de la circunferencia osculatriz es}\\ &(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=R^2\\ &x^2+\left(y-\frac 12\right)^2=\frac 14\end{align}$$

Y eso es todo.