Ecuación diferenciales, problema siguiente y'+ xtany=0

Es una ecuación diferencial de variables separables, son las más fáciles.

$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}+x·tgy=0\\ &\\ &\frac{dy}{dx}=-x·tgy\\ &\\ &\frac{dy}{tgy}=-xdx\\ &\\ &\frac{dy}{\frac{seny}{cosy}}=-xdx\\ &\\ &\frac{cosy}{seny}dy=-xdx\\ &\\ &\\ &\text {Integramos en ambos lados}\\ &\\ &ln(seny) = -\frac{x^2}{2} + C\\ &\end{align}$$

Normalmente esa respuesta es válida. Lo que pasa es que con los logaritmos se prefiere poner como constante de integración un logaritmo y lo haríamos así

$$\begin{align}&ln(seny)+ln\,C=-\frac{x^2}{2}\\ &\\ &ln(C\,seny) = -\frac{x^2}{2}\\ &\\ &\text {e incluso si se quiere se despeja y}\\ &\\ &C\,seny =e^ {- \frac{x^2}{2}}\\ &\\ &sen y = \frac{e^ {- \frac{x^2}{2}}}{C}\\ &\\ &\text{se renombra C a }\frac 1C\\ &\\ &seny =Ce^ {- \frac{x^2}{2}}\\ &\\ &y = arcsen \left(Ce^ {- \frac{x^2}{2}}  \right)\end{align}$$

Y eso es todo.