Solución de ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de laplace. Con u''

Da lo mismo que se llamen u y v que y y z, simplemente debes saber que u y v son unas funciones de x

Hacemos la transformada de las dos ecuaciones en ambos lados

$$\begin{align}&s^2\overline{u}+2+\overline{v} = 0\\ &s^2\overline{u}+2 -s\overline{v} =\frac{-2}{s-1}\\ &\\ &\\ &\\ &s^2\overline{u} + \overline{v}= 2\\ &s^2\overline{u}-s\overline{v}= \frac{-2}{s-1}-2=\frac{-2s}{s-1}\\ &\\ &\text{A la primera le restamos la segunda}\\ &\\ &\overline{v}+s\overline{v}=-2+\frac{2s}{s-1}=\frac{2}{s-1}\\ &\\ &\overline{v}= \frac{2}{(s+1)(s-1)}\\ &\\ &\\ &\overline{u}=\frac{-2-\overline{v}}{s^2}=\frac{-2s^2+2-2}{s^2(s+1)(s-1)}\\ &\\ &\overline{u}=\frac{-2}{(s+1)(s-1)}\\ &\\ &\end{align}$$

Y ya tenemos despejadas las transformadas de u y v.

No cuesta mucho hallar las inversas de las transformadas

$$\begin{align}&\overline{u}=\frac{a}{s+1}+\frac{b}{s-1}=\frac{(a+b)s -a+b}{(s+1)(s-1)}\\ &\\ &a+b=0\\ &-a+b=-2\\ &2b=-2\\ &b=-1\\ &a=1\\ &\overline{u}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s-1}\\ &\\ &u = e^{-t}-e^t\\ &\\ &\text{Para v las ecuaciones son}\\ &a+b=0\\ &-a+b=2\\ &b=1\\ &a=-1\\ &v= -e^{-t}+e^t\end{align}$$

Luego era la respuesta que daban.

Y eso es todo.