Como derivo esto IT 1 200 000+37000(x)-100x2.
Casas Urbi ha construido en Ixtapaluca una unidad con 400 departamentos para rentar. En sus estudios de mercado indican que si se establece una renta de $ 3000 al mes se ocuparían todos. Pero por cada incremento de $ 100 un de partamento queda vacío.
1. Calcula la renta mensual que se deba establecer de modo que el ingreso sea el máximo posible
2. Cual es el numero de departamentos para optener el Ingreso Máximo
3. Importe del ingreso máximo.
1 Respuesta
El ingreso sera el número de apartamentos por el preció que cobra por cada uno.
Debemos hallar el número de apartamentos que alquila según el precio
La diferencia de precio con 3000 dividida por 100 nos dirá cuántos apartamentos ha dejado de alquilar, luego
Alquilados(p) = 400 - (p-3000)/100 = 400 - p/100 +30 = 430 - p/100
Y el ingreso será
I(p) = p(430 - p/100) = 430p - p^2 / 100
Derivamos e igualamos a cero para calcular el máximo
I'(p) = 430 - 2p/100 = 0
2p/100 = 430
2p = 43000
p = 21500
Luego el ingreso máximo se obtiene con un alquiler de $21500
2)
El número de apartamentos alquilados lo teníamos en una fórmula arriba
alquilados(21500) = 430 - 21500/ 100 = 430 - 215 = 215 apartamentos alquilados.
3) Y el ingreso también tiene su fórmula escrita arriba
I(21500) = 430(21500) - 21500^2 / 100 = 9245000 - 4622500 = $4622500
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no lo entendiste pídeme aclaraciones, y si ya está bien NO olvides puntuar.
Valeroasm, antes que nada quiero agradecerte por el tiempo para tu asesoría, pero me confundo un poco ya que si son solo 400 departamentos como es que obtienes 430 y aun mas se me hace un precio muy elevado para la renta de cada departamento a $ 21 500 cuando se habla en un inicio de solo $ 3 000 al mes este problema yo lo resolví asi:
No departamentos Costo Renta Total
400 3000 400x3000= 1 200 000
400-1 3000+100 399x3100= 1 236 000
400-2 3000+100(2)= 398x3200= 1 273 600
(400-x) (3000+100x)
3000 +100x
400 -x si lo multiplico obtengo 1 200 000-2600x-100x^2= 100x^2+2600+1 200 000
aplico esta formula x= -b (+,-)raíz cuadrada de b^2-4ac/2a=
asi me da = 13 entonces lo sustituyo a (400-x)(3000+100x) y obtengo resultados pero mi maestro me dice que esta es la formula correcta: IT= 1 200 000+37000(x)-100x^2 que tengo que derivar para sacar mis resultados.
Por favor me puedes apoyar de nuevo te lo agradece Wagnerjr
Esto es lo que dije:
La diferencia de precio con 3000 dividida por 100 nos dirá cuántos apartamentos ha dejado de alquilar, luego
Alquilados(p) = 400 - (p-3000)/100 = 400 - p/100 +30 = 430 - p/100
Y el ingreso será
I(p) = p(430 - p/100) = 430p - p^2 / 100
Vamos a ver que está bien.
Lo primero digo que los apartamentos que deja de alquilar son
(p-3000)/100
Si p=3000 tenemos (3000-3000) / 100 = 0/100 = 0
Si p=3100 tenemos (3100-3000) / 100 = 100/100 = 1
Si p=3200 tenemos (3200-3000) / 100 = 200/100 = 2
Luego los que se alquilan son
alquilados = 400 - (p-3000)/100 = 400 - p/100 + 3000/100 =
400 - p/100 + 30 = 430 - p/100
alquilados = 430 - p/100
Y si quieres puedes volver a comprobar que esta fórmula es correcta
Si p=3000 tenemos alquilados = 430 - 3000/100 = 430 - 30 = 400
Si p=3100 tenemos alquilados = 430 - 3100/100 = 430 - 31 = 399
Si p=3200 tenemos alquilados = 430 - 3200/100 = 430 - 32 =398
Y una vez conocemos los alquilados se multiplica por el precio y tenemos los ingresos
Ingresos = p x alquilados
Ingresos(p) = p(430 - p/100) = 430p - (p^2) / 100
Puedes comprobarlo
Si p=3000 Ingresos=430·3000 - 3000^2 / 100 = 1290000 - 90000 = 1200000
Si p=3100 Ingresos=430·3100 - 3100^2 / 100 = 1333000 - 96100 = 1236900
Si p=3200 Ingresos=430·3200 - 3200^2 / 100 = 1376000 - 102400 = 1273600
En el de 3100 habías hecho mal la multiplicación por eso es distinto de lo que ponías
Y si derivas esta función
ingresos '(p) = 430 - 2p/100 = 430 - p/50 = 0
430 = p / 50
p = 50 · 430 = $ 21500
Y es eso, el precio con el que se consiguen mayores ingresos es 21500, me reafirmo.
Con respecto a tu método:
Ingresos(x) = (400 - x)(3000 + 100x) = 1200000 + 40000x - 3000x - 100x^2 =
1200000 + 37000x - 100x^2
Que es la fórmula que dice el maestro. Pero ten en cuenta que la x de esta fórmula es distinta de la p la mía. La x esta significa el número de departamentos que no se han alquilado y la p mia significa el precio que se cobró por cada uno.
Entonces una de dos, o traducimos la formula a p, o derivamos respecto de x pero luego hallamos p. El método que dices tu de calcular las raíces de la formula de los ingresos no tiene ningún sentido, no puede haber ingresos cero salvo que se alquilen cero apartamentos o el alquiler sea cero. Lo que hay que calcular son las raíces de la derivada que es cuando la función será horizontal y tiene el máximo.
Pues como decía, la fórmula de los ingresos respecto de los apartamentos que quedan sin alquilar es
Ingresos(x) = 1200000 + 37000x - 100x^2
como
p = 3000+100x
100x = p-3000
x = (p-3000)/100
Y sustituyendo ese valor tendremos los ingresos respecto de p
Ingresos(p) = 1200000 + 37000(p-3000)/100 - 100(p-3000)^2 / 100^2 =
1200000 + 370p -1110000 - (p^2 / 100) + 60p - 90000 =
430p - p^2 /100
Que como ves es la misma fórmula de ingresos que había calculado yo. Derivarías y te daría el mis mo resultado que a mí
Y la otra forma es derivar en la fórmula con x respecto a la x
Ingresos(x) = 1200000 + 37000x - 100x^2
Ingresos'(x) = 37000 - 200x = 0
37000 = 200x
x = 37000 / 200 = 185
Luego el máximo es cuando se dejan de alquilar 185 apartamentos, es decir cuando el precio del alquiler
es 3000 + 185 · 100 = 3000 + 18500 = 21500
Que como ves es el mismo precio que había resuelto .
No se puede decir que parezca el precio elevado y por eso pensar que la respuesta es incorrecta, es el precio real al que se obtienen mayores ingresos. Lo que habría que pensar es que es poco verosimil la formula de que solo sea uno el que renuncie cada $100 que se sube el alquiler, por eso se dispara tanto el precio.
Y eso es todo.
Te agradezco de nuevo por tu aclaración, vaya que yo lo resuelvo de acuerdo a mi percepción; pero no debo olvidar que tu eres el experto.
Gracias y saludos.
