Ecuación de la circunferencia

Primero hallamos el punto de intersección de las rectas

x-y-2=0

3x+5y-14=0

Multiplicamos la primera por -3 y la sumamos a la segunda

8y - 8 = 0

y = 8/8 = 1

Y ahora calculamos x

x - 1 - 2 = 0

x = 3

Es el punto (3, 1)

Ahora hallamos el centro de la circunferencia, para ello si ponemos la ecuación en la forma

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

el centro será (a,b)

Pero tampoco es necesario llegar a poner esa ecuación, es suficiente con hallar a y b

X^2+y^2+6x+14y+18=0

El monomio que nos dará x^2+6x es (x+3)^2 ya que

(x+3)^2 = x^2+6x+9

El 9 habría que restarlo si quisiéramos calcular la ecuación exacta, pero como solo queremos calcular el centro nos quedamos con que el primer termino de la ecuación canónica será

(x+3)^2

De la misma forma calculamos el termino para la y que es

(y+7)^2

Luego el centro es (-3, -7) y la ecuación será

(x+3)^2 + (y+7)^2 = r^2

Y lo que nos falta es conocer r, sabiendo que la circunferencia pasa por (3,1) se puede averiguar

(3+3)^2+(1+7)^2 = r^2

6^2+8^2 = r^2

36+64 = r^2

100 = r^2

Luego la ecuación de la circunferencia es

(x+3)^2+(y+7)^2=100

Si la quieres en forma general se hacen las operaciones y queda

x^2 + y^2 + 6x + 14y + 9 + 49 = 100

x^2 + y^2 + 6x + 14y - 42 = 0

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Esta sería la forma teórica con todos los pasos, pero en la practica se puede hacer más corto si usamos que dos circunferencias concentricas tendrán los mismos términos en sus ecuaciones salvo el término independiente.

Entonces nada más que se calculó el punto (3,1) por donde debe pasar, tomanos la ecuación de la concentrica, sustituimos x, y por el punto (3,1) y ponemos una incognita en lugar del término independiente

3^2 + 1^2 + 6·3 + 14·1 + c = 0

9 +1 +18 +14 + c = 0

c = -42

Y ese valor lo ponemos como término independiente y ya está la solución

x^2 + y^2 + 6x + 14y - 42 = 0

Y eso es todo.