Demuestra que las funciones e^z y log(z) son linealmente independientes

Si fueran dependientes existirían escalares a y b no nulos ambos tales que

a·e^z + b·log(z) = 0

siendo 0 la función nula, que toma el valor 0 para cualquier valor de z

Si a=0 no puede ser porque o bien b=0 o si no no obtenemos la función nula

Si b=0 tampoco, o es b=0 o b·log(z) no puede ser la función nula

Luego a y b deben ser distintos de cero, podemos entonces dividir por a ambos escalares y queda la expresión

e^z + c·log(z) = 0

Con c distinto de cero

Y esto no puede valer 0 para todo z ya que para

0< Z <1 el logaritmo es negativo y c debería ser positivo para darse la igualdad

Pero para z >1 el logaritmo es positivo y entonces c debe ser negativo para darse la igualdad

Como c no puede ser a la vez positivo y negativo ni puede ser 0 no existe el tal c. Luego es absurdo que se pueda dar la igualdad e^z + c·log(z) = 0 y la única opción es que sea a=b=0 con lo cual son independientes.

Las funciones e^z y log(z) son vectores del espacio vectorial de las funciones luego generan un subespacio vectorial de dimensión 2.

Y eso es todo.