¿Cómo hallo el área de un triangulo que tiene por lados, rectas?

Lo primero es hallar los vértices del triángulo.

Llamaremos

A = L1 n L2

B = L2 n L3

C = L3 n L1

Punto A

x +5y -7 = 0

3x -2y -4 = 0

Primera por -3 se suma a segunda

-17y +17 = 0

y=1

x+5-7 = 0

x=2

A=(2,1)

Punto B

3x -2y -4 = 0

7x +y +19 = 0

Segunda por 2 se suma a la primera

17x +34 = 0

x=-2

6-2y -4 = 0

-2y=-2

y=1

B=(-2,1)

Punto C

x +5y -7 = 0

7x +y +19 = 0

Primera por -7 se suma a la segunda

-34y +68 = 0

y=2

x+10-7=0

x=-3

C=(3,2)

Recapitulamos:

A=(2,1), B=(-2,1), C=(3,2)

Y ahora usaremos la fórmula de que el área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos lados tomados como vectores

Tomaremos los vectores AB y AC

AB = (-2, 1) - (2,1) = (-4,0)

AC = (3, 2) - (2, 1) = (1, 1)

Y ahora se monta el determinante que calcula el producto vectorial, como estamos en el plano se pone coordenada z=0

| i  j  k |
|-4  0  0 | = 0i + 0j -4k
| 1  1  0 |

Luego el módulo del producto vectorial es 4. Y el área del triángulo es la mitad.

El área es 2 unidades cuadradas

Y eso es todo.