Calcular la ecuación de la recta tangente
sea f(x)= x^(x) calcular la ecuación de la recta tangente a la curva en x=1
En un principio me costo la derivada f(x) xD, pero al final me salio, la comprobé y es lo que pensaba.
Bueno en este ejercicio la diferencia es que te entregan el valor de la abscisa (x=1), entonces con este valor uno inmediatamente puede obtener el punto, reemplazando x=1, en la función principal f(x).
$$\begin{align}&f(x)=x^x-->x=1\\ &f(1)=(1)^{(1)}\\ &f(1)=1\\ &P_{0}=(1,1)\end{align}$$Teniendo el punto, nos falta obtener la pendiente, para tener la pendiente sabemos que
debemos igualar la derivada de la función con la pendiente(m).
$$\begin{align}&y=x^x/(ln)\\ &ln(y)=xln(x)\\ &\\ &Derivamos.\\ &\\ &\frac{1*y'}{y}=(1*ln(x))+(x*\frac{1}{x})\\ &y'=(ln(x)+1)*y\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Bueno primero, baje el exponente de la función aplicando, logaritmo natural a ambos lados de la igualdad, para que esta no se pierda esta, posteriormente derive.
Al final nos queda un "y" dando vueltas pero nosotros sabemos que y es igual a.
$$\begin{align}&y'=(ln(x)+1)*y\\ &\\ &y=x^x\\ &\\ &\therefore{y'=x^x(ln(x)+1)} \end{align}$$Teniendo la derivada la igualamos a la pendiente(m) que no conocemos, pero tenemos el punto (1,1) por lo tanto lo podemos reemplazar en la derivada y obtener la pendiente.
$$\begin{align}&x=1\\ &\\ &x^x(ln(x)+1)=m\\ &\\ &(1)^{(1)}(ln(1)+1)=m\\ &1(0+1)=m\\ &1=m\end{align}$$Teniendo la pendiente y el punto, obtenemos la ecuación de la recta tangente.
$$\begin{align}&y-1=1(x-1)\\ &y=x-1+1\\ &y=x\end{align}$$Ese es el procedimiento, puedes corroborar todo en un programa para graficar, así puedes ver de manera mas clara, lo que estas calculando y ver si en realidad son puntos de tangencia y así comprobar.
