Pequeño contratiempo de mate

Dada una ecuación de una recta en la forma

Ax+By+C = 0

toda la familia de rectas paralelas es de la forma

Ax+By+D = 0

Cambiando la C por cualquier valor.

Entonces las rectas paralelas a la que nos dan son

3x - 4y + D = 0

Por otra parte tenemos que la distancia de un punto P= (xo, yo) a una recta de la forma

r: Ax + By +C = 0

es

$$\begin{align}&d(P,r)=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\\ &\\ &\text{La distancia a nuestra recta será:}\\ &\\ &d(P,r)=\frac{|3x_0-4y_0-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\\ &\\ &\\ &\frac{|3x_0-4y_0-12|}{5}\end{align}$$

Y ahora deberíamos tomar un punto (xo,yo) de la recta nueva para calcular su distancia a la original

Cualquier punto (xo,yo) de la recta 3x-4y+D = 0 cumplirá

3xo - 4yo + D = 0

luego

3xo - 4yo = -D

llevando este valor a la fórmula de la distancia tendremos

d(P,r) = |-D-12| / 5 = 2

|-D-12| = 10

Esto son dos ecuaciones, la primera

-D-12 = 10

-D = 10+12 = 22

D = 22

y la segunda

-(-D-12) = 10

D+12 = 10

D = -2

Luego las dos rectas paralelas a 2 unidades de distancia son:

3x - 4y + 22 = 0

3x - 4y - 2 = 0

Hola experto muchas gracias por tu atención, a mí solamente me sale 3x-4y-22 = 0, pienso que sólo sería esta recta la solución.Me puedes aclarar de donde sale la recta 3x-4y-2=0, no lo entiendo.

Muchas gracias.

Ya el enunciado te dice hallar las rectas porque siempre hay dos una a la derecha y otra a la izquierda o una arriba y otra abajo según la perspectiva con que lo mires. Imagina el caso sencillo de una recta vertical x=4 por ejemplo, a distancia 2 tendrás por la izquierda la recta x=2 y por la derecha la recta x=6. Lo mismo sucede con las rectas inclinadas, lo que pasa es que la distancia no se calcula tan sencillamente.

Si te fijas, la fórmula de la distancia es un valor absoluto, tras las operaciones previas hemos llegado a

|-D-12| = 10

Entonces lo que hay dentro del valor absoluto puede valer 10 o -10 porque con cualquiera de los dos valores el valor absoluto valdrá 10 y se cumple la igualdad

Por eso he tomado dos ecuaciones, en la primera supongo que lo de de dentro es positivo y vale 10 y por lo tanto lo igualo tal cual está a 10

-D - 12 = 10

de donde sale D = -22

Y en la segunda supongo que lo de dentro vale -10. Ahora lo haré más directo que antes sin poner el signo -. Si lo de dentro vale - 10 tenemos

-D-12 = -10

D+12 = 10

D = 10-12 =-2

y los dos valores de D cumplen

|-D-12|= 10

porque

|22-12| = |10| = 10

|2-12| = |-10| = 10

Luego ambos valores de D originan rectas paralelas que cumplen la condición de la distancia que nos piden.

Gracias entonces tenemos /-D-12/ = 10 de donde D = - 22 y de ecuación 3x-4y -22=0.

Y tendríamos el otro valor así / D+12/ = 10 de donde D= - 2 Y de ecuación 3x-4y-2=0

Es así , no? Perdona por la insistencia y muchas gracias