Como puedo resolver la ecuación diferencial ( y / (4+y^2)^1/2 ) dy = ( 1 / (4-x^2)^1/2 ) dx ?

Las variables están ya separadas, a la izquierda tienes una función de y por dy y a la derecha una función de x por dx.

Basta integra a cada lado respecto a su variable e igualar.

La de la izquierda es bastante inmediata porque sabemos

[f(y)]^(1/2)' = (1/2)[f(y)]^(-1/2) · f '(y) = (1/2)f '(y) / [f(y)]^(1/2

Luego si te fijas, verás que la parte izquierda es exactamente la derivada de

(4+y^2)^(1/2)

La de la derecha tiene la forma de derivada de un arcsen pero hay que maquillarla algo y suelen ser liosas aunque no complicadas

$$\begin{align}&\int \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} = \int \frac{dx}{\frac{2 \sqrt{4-x^2}}{2}} = \frac{1}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{\frac{4-x^2}{4}}}=\\ &\\ &\\ &\frac{1}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} = \frac{1}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}\end{align}$$

Y otra vez nos lo han querido poner relativamente fácil.

Sabiendo que

arcsen(f(x)) ' = f '(x)/(1-[f(x)]^2)

Tenemos exactamente la derivada de

arcsen(x/2)

Luego la solución general es:

(4+y^2)^(1/2) = arcsen(x/2) + C

4+y^2 = (arcsen(x/2)+C)^2

y^2 = (arcsen(x/2)+C)^2 -4
Y lo dejamos ya así la solución porque no es una función simple, tiene dos ramas la parte positiva y negativa de una raíz cuadrada.

Y eso es todo.