Transformada inversa de laplace con fracciones parciales y'+4y= e^(-4t) , y(0)=2

No sé cómo te explican la forma de resolverlo. Está bien la operativa que hayas hecho salvo que eso que te da no es y. Eso que te da es la transformada de de y(t). En mi libro pondrían:

$$\begin{align}&\overline{y}(s)= \frac{2s+9}{(s+4)(s+4)} =\\ &\\ &\frac{a}{s+4}+ \frac{b}{(s+4)^2} =\\ &\\ &\frac{a(s+4)+b}{(s+4)^2}=\\ &\\ &\frac{as+4a+b}{(s+4)^2}=\\ &\\ &\text{Como los numeradores de ser iguales polinomialmente}\\ &2s+9= as+4a+b\\ &\text{se traduce en dos ecuaciones ecuaciones}\\ &2s = as  \implies a=2\\ &9 =4a+b \implies b = 9-4a = 9-4·2=1\\ &\\ &\overline{x}(s) = \frac{2}{s+4}+\frac{1}{(s+4)^2}\\ &\\ &x(t) = 2e^{-4t}+te^{-4t} =(t+2)e^{-4t}\\ &\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. NO olvides puntuar en breve.