Anillo de polinomios. Calculo
Demostrar que el siguiente polinomio no tiene raíces racionales. Calcular sus raíces. X^4+2x^3-3x^2-2
1 respuesta
Por el teorema de la raíz racional
sea el polinomio an·x^n + ....+ a2·x^2 + a1·x + a0
Si a0 y an son diferentes de cero, entonces cada solución racional x, cuando está escrita como fracción x = p/q en sus términos más bajos (es decir, el máximo común divisor de p y q es 1), satisface
P es un factor del término constante a0, y
Q es un factor del coeficiente del término an.
Luego las respuestas racionales de
x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 2
pueden ser unicamente
{-1, 1, -2, 2}
Si r es una raíz de P(x) se cumple P(r) = 0 vamos a probar
P(-1) = 1 - 2 -3 -2 = -6
P(1) = 1 + 2 - 3 - 2 = -2
P(-2) = 16-16 -12-2 = -14
P(2) = 16 + 16 -12 - 2 = 18
Luego no tiene raíces racionales.
Pues ahora no entiendo que hay qué hacer. Ya hemos visto que no tiene raíces racionales, si quieres que calculemos las raíces dime que método usáis. El método algebraico es brutal e impracticable para una ecuación de cuarto grado.
Si se usa el método de Newton también me gustaría saber si usáis métodos previos para calcular los intervalos de las raíces.
Por ejemplo la regla de Descartes que dice que al haber un solo cambio de signo en los coeficientes de P(x) hay una raíz positiva.
Mientras que P(-x) es
x^4 -2x^3 - 3x^2 - 2
Tiene un cambio de signo, luego hay una raíz negativa.
Pero no se si buscáis donde están las raíces más o menos, porque el método de Newton puede diverger si la aproximación inicial no es buena.
Resumiendo, comentame qué usáis o dime el libro, etc.
si.,en realidad no vimos mucho,solo ruffini y baskara.
Pues entonces no voy a darte teoría de ecuaciones que no has dado, las soluciones reales son:
x = -3.05294457786848
x = 1.28345083273985
y las complejas
x = -0.115253127435687-0.705082691024460 i
x = -0.115253127435687+0.705082691024460 i
Todo ello calculado con Máxima, programa de ordenador.
Voy e esbozar como se haría con el método de Newton-Rapson, simplemente una de ellas, la positiva. Lo mejor es partir de una buena aproximación obtenida por ejemplo con una gráfica, pero no siquiera eso.
Sabemos que hay una raíz positiva.
p(0) =-2
p(1) = -2
p(2) = 18
Entre 1 y 2 está la raíz, probablemente mas cerca del 1. Tomaremos el 1 como primera raíz
xo=1
y las siguientes iteraciones se obtienen así
$$\begin{align}&x_{n+1}=x_n-\frac{P(x)}{P´(x)}\\ &\\ &x_{n+1}=x_n -\frac{x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 2}{4x^3+6x^2-6x}\\ &\\ &\\ &\\ &x_1=1-\frac{1^4+2·1^3-3·1^2-2}{4·1^3+6·1^2-6·1}=1-\frac{-2}{4}=1.5\\ &\\ &\\ &x_2=1.5-\frac{1.5^4+2·1.5^3-3·1.5^2-2}{4·1.5^3+6·1.5^2-6·1.5}=1.32986111...\\ &\\ &\\ &x_3=1.32986111- \frac{x_2^4+...-2}{4x_2^3+...-6x_2}=1.286179593371743\\ &\\ &\\ &x_4=1.286179593371743 - \frac{x_3^4+..}{4x_3^3+..}=1.283460990795917\\ &\\ &x_5=1.283460990795917- \frac{x_4^4+..}{4x_4^3+..}=1.283450832881295\\ &\\ &x_6=1.283450832881295- \frac{x_5^4+..}{4x_5^3+..}=1.283450832739853\\ &\\ &x_7 = 1.283450832739854\\ &x_8 = 1.283450832739854\end{align}$$Y ya está, ya no cambian los 15 decimales.
Y lo dejo aquí, sin saber lo que piden ya hice bastante.
