Solución ejercicio 17 pag 488

a) f(x,y,z) = xe^y·cos(pi·z)

El gradiente son las derivadas parciales puestas como vector

F= grad f = e^y·cos(pi·z)i + xe^y·cos(pi·z)j - xe^y·pi·sen(pi·z)k

b) Para evaluar la integral de línea sustituiremos x, y, z por las respectivas componentes de c(t) y cada componente del gradiente se multiplica por la derivada de la correspondiente componente de c(t)

$$\begin{align}&c(t)= (3cos^4t,5sen^7t,0)\\ &\int_Ce^y·\cos\pi z\;dx + xe^y·\cos\pi z\;dy - xe^y·\pi·sen\pi z\;dz=\\ &\\ &\int_0^{\pi}\left[e^{5sen^7t}·\cos\,0·(-12cos^3t·sent)\right. \\ &\left.+3cos^4t·e^{5sen^7t}·\cos\,0·(35sen^6t·cost)-0\right] dt=\\ &\\ &\int_0^{\pi}e^{5sen^7t} (-12cos^3t·sent+105cos^5t·sen^6t)dt\end{align}$$

Y con lo de evaluar supongo que querían decir llegar hasta aquí, porque continuar es imposible.

Y eso es todo.