Ayuda no puedo hacer esta ecuación

Si te ha llevado a una ecuación de tercer grado no es que no recuerdes como resolverla, seguramente es que no lo has dado, yo tampoco lo he dado. Bueno, la he visto pero es casi imposible de recordar. Por Ruffini se pueden intentar soluciones pero no siempre se puede resolver. Vamos a hacerla y veremos como se puede resolver.

C(m-1,2) + C(m,2) + C(m+1,2) = 19

(m-1)(m-2) / 2 + m(m-1) / 2 + (m+1)m / 2 = 19

(m^2 - 2m - m + 2 + m^2 - m + m^2+m) / 2 = 19

3m^2 - 3m + 2 = 38

3m^2 - 3m - 36 = 0

No es una ecuación de tercer grado, es de segundo. Puede que lo hayas hecho usando

C(m,n) = m! / [n!(m-n)!]

En vez de la forma ya simplificada que he usado yo, pero de todas formas te tenía que llevar a la misma ecuación después de simplificar numeradores y denominadores.

Y la ecuación de segundo grado se resuelve fácilmente, esa si creo que la recuerdes.

$$\begin{align}&m=\frac{3\pm \sqrt{9 +4·3·36}}{6}= \\ &\\ &\frac{3\pm \sqrt{441}}{6}=\frac{3\pm 21}{6}= 4\; y\; -3\\ &\end{align}$$

La solución -3 no tiene sentido en nuestro problema.

Luego la respuesta es m=4

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Siendo un número pequeño el de la derecha también podríamos haberlo hecho probando

Las combinaciones de 2 elementos son

C(2,2) = 1

C(3/2) = 3

C(4,2) = 6

C(5,2) = 10

Y ya tenemos los tres números seguidos cuya suma de combinaciones es 19. Como m era el del medio, m =4

Y eso es todo.