Encuentra la probabilidad condicional
Un favor al experto, si pudiese resolver los incisos. Gracias!
Sean x y y los niveles de concentración en ppm de dos contaminantes en una determinada porción de un tanque de agua. Si la función de densidad conjunta de probabilidad está dada por:
f(x,y) = (x+y) / 8000
0 mayor que x,y menor que 20 o para cualquier otro valor.
Resuelve:
a) Comprueba que es una función de densidad conjunta.
b) Encuentra la función de distribución conjunta (bivariada) de x y y (recuerden que es la
acumulada F(x,y))
1 Respuesta
Para comprobar que es una función de densidad conjunta se efectúa la integral doble con los intervalos entre - infinito y +infinito (en realidad entre donde hay probabilidad no nula) y eso debe dar 1.
f(x,y) = (x+y) / 8000; si 0 <= x,y <= 20
0 en el resto
Ambos límites prácticos son 0 y 20
$$\begin{align}&\int_0^{20}\int_0^{20}\frac{x+y}{8000}dydx=\\ &\\ &\frac{1}{8000}\int_0^{20}\int_0^{20}(x+y)dydx=\\ &\\ &\\ &\frac{1}{8000}\int_0^{20}\left[xy+\frac{y^2}{2} \right]_0^{20}dx=\\ &\\ &\\ &\frac{1}{8000}\int_0^{20}(20x+200)dx=\\ &\\ &\\ &\frac{1}{8000}\left[ 10x^2+200x \right]_0^{20}=\\ &\\ &\frac{1}{8000}(4000+4000) = 1\end{align}$$Luego es una función de densidad conjunta.
La función de distribución conjunta es
F(x,y) = P(X<=x; Y<=y)
Esto se hace resolviendo la integral doble con los izquierdos en -infinito (o en los lugares prácticos donde la probabilidad no es nula) y los limites derechos en x e y.
$$\begin{align}&F(x,y)= \int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(t,z)dzdt\\ &\\ &\\ &\\ &F(x,y)= \int_0^x\int_0^y \frac{t+z}{8000}dzdt=\\ &\\ &\\ &\frac{1}{8000}\int_0^x\left[tz + \frac{z^2}{2} \right]_0^ydt=\\ &\\ &\\ &\frac{1}{8000}\int_0^x \left(ty+\frac{y^2}{2}\right)dt=\\ &\\ &\\ &\frac{1}{8000}\left[\frac{t^2y}{2}+\frac{y^2t}{2} \right]_0^x=\\ &\\ &\frac{1}{8000}\left(\frac{x^2y+y^2x}{2} \right)=\\ &\\ &\\ &\frac{x^2y+y^2x}{16000}\\ &\\ &\\ &\\ &F(x,y)=\frac{x^2y+y^2x}{16000}\end{align}$$Y eso es todo.
