Solución ejercicio 1 pagina 381
Puedes ayudarme por favor con el ejercicio 1 de la siguiente imagen:
1 respuesta
Hacer la integral de exp(x^2+y^2) sobre el disco unidad x^2+y^2<=1 mediante el cambio de variable a coordenadas polares.
El disco unidad se recorre en coordenadas polares haciendo variar
0 <= r <= 1
0 <= theta <= 2pi
el cambio de variables es
x = r·cos(theta)
y = r·sen(theta)
el jacobiano de la transformación es
$$\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial x}{\partial \theta}\\
\\
\frac{\partial y}{\partial r}&\frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\cos\theta &-r\,sen \theta\\
\\
sen\,\theta&r\,\cos \theta
\end{vmatrix}=
\\
.
\\
r\,\cos^2 \theta+r\,sen^2\theta=r$$Recuerdo que al aplicar el cambio se debe multiplicar la integral por el jacobiano
Luego la integral con el cambio es: ...
Oye, voy a mandar esto ya que el servidor va mal y había hecho el ejercicio completo y no se ha podido mandar y me ha borrado lo que viene después. Así por lo menos espero que te llegue esta primera parte ahora que parece que funciona.
Espera que vuelvo a hacer la integral para mandarla.
La integral es:
$$\begin{align}&\int_0^1 \int_0^{2\pi}exp(r^2cos^2\theta+r^2sen^2\theta)r\,d\theta\,dr=\\ &\\ &\\ &\int_0^1 \int_0^{2\pi}re^{r^2}d\theta\,dr=\\ &\\ &\\ &\int_0^1 re^{r^2}\int_0^{2\pi}d\theta\,dr=\\ &\\ &\\ &\int_0^1 re^{r^2}·2\pi\,dr=\\ &\\ &\\ &\pi\int_0^12re^{r^2}dr=\\ &\\ &\pi\left. e^{r^2} \right|_0^1 =\pi(e-1)\approx 5.398141569\end{align}$$Y eso es todo.
