Grupos abelianos finitamente generados

Antes de nada te comento que las preguntas de álgebra suelen ser muy difíciles, al menos para mí. Por eso ni yo, ni creo que nadie más, va a contestar las preguntas que tienes con varios ejercicios. Si pones un solo ejercicio en cada pregunta lo intentaré, aunque no garantizo que pueda con todas ni cuando me saldrán.

Hace unos días contesté la pregunta 9.5... y ahora que la he encontrado te la había respondido a ti precisamente

http://www.todoexpertos.com/categorias/ciencias-e-ingenieria/matematicas/respuestas/byyc1omk6ws5o/grupos-abelianos-finitamente-generados

Tomaremos la descomposición de n en factores primos.

Si alguno de ellos (p^i) tiene exponente superior a 1 podremos crear un grupo abeliano de orden n isomorfo a

Zp x Zp x H

que tiene el subgrupo

Zp x Zp x {Elemento neutro de H}

Luego Zp x Zp x H no es cíclico.

Luego todos los factores primos del número n deben tener exponente 1.

Y cumpliendo eso solo habrá un grupo abeliano con orden n porque si p y q son coprimos

Zp X Zq es isomorfo a Zpq.

Todo esto también lo dice el teorema 9.6

Y eso es todo.