Solución ejercicio 6 pagina 337

La recta

3x+4y=10

corta a los ejes en

si x=0

4y=10 ==> y =5/2

luego en (0,5/2)

y si y=0

3x =10

x=10/3

(10/3, 0)

Entre los semiejes positivos y esta recta se forma un triángulo rectángulo. La hipotenusa como función de x es:

y=(10-3x)/4

$$\begin{align}&\int_0^{10/3}\int_0^{(10-3x)/4}(x^2+y^2)dydx=\\ &\\ &\int_0^{10/3}\left[x^2y+\frac{y^3}{3}  \right]_0^{(10-3x)/4}dx=\\ &\\ &\int_0^{10/3}\left(\frac{5}{2}x^2- \frac 34 x^3+\frac{(10-3x)^3}{192}\right)dx=\\ &\\ &\left[\frac 56x^3-\frac 3{16}x^4-\frac{(10-3x)^4}{3·4·192} \right]_0^{10/3}=\\ &\\ &\frac{5000}{162}-\frac{30000}{16·81}-0-0+0+\frac{10000}{3·4·192}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{2500}{81}-\frac{1875}{81}+\frac {625}{144}=\\ &\\ &\\ &\frac{625}{81}+\frac{625}{144}=\\ &\\ &\frac{625(144+81)}{81·144}=\\ &\\ &\frac{625·225}{81·144}=\\ &\\ &\frac{625·25}{9·144}=\frac{15625}{1296}\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.