Hallar la ecuación de la circunferencia

La tangente es perpendicular al radio de forma que que la distancia del centro a la recta tangente es el radio.

Sea (x, y) el centro

Entonces, por la fórmula de la distancia punto recta tendremos

d(P,r) = |3x-2y+9| / sqrt(13) = sqrt(13)

|3x-2y+9| = 13

Esto debe entenderse como dos ecuaciones, ya que habrá dos soluciones. Hay que calcular el punto de corte de cada recta de estas dos con la recta donde nos dicen que está el centro.

La primera ecuación sería considerando positivo el interior del módulo

3x-2y+9 = 13

2x-y = 0

La segunda por -2 se suma a la primera

-x + 9 = 13

x =-4

luego

-8-y=0

y=-8

El centro es (-4,-8)

y la ecuación primera es

(x+4)^2 + (y+8)^2 = 13

La segunda ecuación es considerando negativo el interior del módulo, entonces para que sea igual a 13 que es positivo habría que cambiarlo de signo

3x-2y+9 = -13

2x-y = 0

sumando la segunda por -2 a la primera

-x + 9 = -13

x = 22

2·22 - y = 0

y = 44

y la ecuación de la segunda circunferencia es

(x-22)^2 + (y-44)^2 = 13

Y eso es todo.