Integral por sustitucion
Buenas tardes.
Me gustaría que me diera indicaciones de como se podrían integrar los siguientes ejercicios.
1. Integral de (dx)/((9-x^2)^3/2)
2. Integral de (5dx)/(x2*raíz cuadrada de (x^2+3))
3. Integral de (x*dx)/((2+3x)*(4+5x))
De antemano muchas gracias.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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1) La forma de deshacerse de una raíz cuadrada cuyo contenido es
a^2 - b^2·x^2 es con el cambio
x= (a/b)sent
en este caso será
x = 3sent
$$\begin{align}&\int \frac{dx}{(9-x^2)^{\frac 32}}=\\ &\\ &\\ &x = 3 \,sen\,t\\ &dx = 3 \cos t \;dt\\ &\\ &\int \frac{3 \cos t}{(9-9 sen^2t)^{\frac 32}}dt=\\ &\\ &\\ &\int \frac{3 \cos t}{(9 \cos^2t)^{\frac 32}}dt=\\ &\\ &\\ &\int \frac{3 \cos t}{27 \cos^3t} dt=\\ &\\ &\\ &\frac 19 \int \frac{dt}{\cos^2t}dt=\frac{tg\, t}{9}+C=\\ &\\ &\\ &Teníamos\\ &\\ & x=3 sen\,t\implies sen \,t = \frac x3 \implies\\ &\\ &\\ &\cos t = \sqrt{1 - \frac{x^2}{9}}= \frac{\sqrt{9-x^2}}{3}\implies\\ &\\ &\\ &tg\,t = \frac{sen\,t}{\cos\,t}=\frac{\frac x3}{\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}}= \frac{x}{\sqrt{9-x^2}}\\ &\\ &\text{luego la solución es}\\ &\\ &\\ &= \frac{x}{9 \sqrt{9-x^2}} + C\\ &\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Estos ejercicios son de cierto nivel y requieren trabajo, la norma en estos casos es contestar uno solo en cada pregunta. Si quieres que haga los otros dos mándamelos en dos preguntas distintas.
