Hallar una ecuación con coeficientes reales para la cual 2, (1-sqrt(3)i) son raíces
Me podrías explicar como se hace...hallar una ecuación con coeficientes reales para la cual 2, 1-sqrt(3)i son raíces
1 Respuesta
Dadas unas raíces r1, r2, ... rn una ecuación cuyas raíces son esas es
(x-r1)(x-r2)···(x-rn) = 0
Lo que pasa es que si aplicamos eso a las dos raíces que nos dan no saldrán coeficientes reales.
El enunciado no deja claro si esas tienen que ser las únicas raíces o puede haber otras. Voy a suponer que puede haber otra porque si no creo que es imposible ya cualquier potencia
[x-1+sqrt(3)i]^n
Tiene algún coeficiente imaginario.
La forma de contrarrestar una raíz compleja es poniendo su conjugada también como raíz:
(x-2) (x-[1-sqrt(3)i]) (x-[1+sqrt(3)]i) = 0
(x-2)(x^2 - x[1+sqrt(3)]i - x[1-sqrt(3)i]+1-3i^2) = 0
(x-2)(x^2 -2x +1+3)=0
(x-2)(x^2 - 2x + 4) = 0
x^3-2x^2+4x -2x^2+4x-8 = 0
x^3 - 4x^2 + 8x - 8 = 0
Y eso es todo.
