Problema de polinomios parte 1

Si a y b son enteros consecutivos con a<b tendremos b=a+1

La expresión quedará:

a^2+(a+1)^2 + [a(a+1)]^2

Y no se ve claramente por donde tirar, luego vamos a probar con número concretos para ver si nos dan una pista

3^2 + 4^2 + 12^2 = 9+16+144 = 169 = 13^2

4^2 + 5^2 + 20^2 = 16 + 25 + 400 = 441 = 21^2

luego parece claro que el resultado va a ser

[a(a+1)+1]^2 = [a(a+1)]^2 + 2a(a+1) + 1

Demostremos que lo de arriba es igual que este cuadrado perfecto

a^2+(a+1)^2 + [a(a+1)]^2 =

a^2+a^2+2a+1 + [a(a+1)]^2 =

2a^2+2a +1 + [a(a+1)]^2 =

2a(a+1) + 1 + [a(a+1)]^2

Que salvo por el orden de los sumandos es lo mismo.

Luego si a y b son enteros consecutivos, entonces

a^2 + b^2 + (ab)^2 = (ab+1)^2

Y eso es todo.