Demuestre dados xy pertenece a R se tiene que : senh(x+y)=senhx cosh y + coshx senhy

Es simplemente una comprobación, tomaremos el lado derecho y veremos que da el lado izquierdo.

$$\begin{align}&senhx·coshy +coshx·senhy =\\ &\\ &\frac{e^x-e^{-x}}{2}·\frac{e^y+e^{-y}}{2}+\frac{e^x+e^{-x}}{2}·\frac{e^y-e^{-y}}{2}=\\ &\\ &\frac{e^{x+y}+e^{x-y}-e^{-x+y}-e^{-x-y}+e^{x+y}-e^{x-y}+e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}=\\ &\\ &\frac{2e^{x+y}-2e^{-x-y}}{4}= \\ &\\ &\frac{e^{x+y}-e^{-(x+y)}}{2}= senh(x+y)\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no comprendiste algún paso pregúntamelo. Y si ya está bien, no olvides puntuar.