1. Hallar la longitud de la curva entera o del arco indicado de las siguientes función
$$ln(1-x^2)$$
desde x=1/4 a x=3/4
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La longitud de un arco de curva de f(x) entre los puntos x=a y x=b se calcula con esta fórmula
$$L= \int_a^b \sqrt{1+(f´(x))^2}dx$$Lo normal es que de ahí salgan expresiones imposibles de integrar por el método de las primitivas, pero cuando ponen un ejercicio de estos es porque lo han preparado para que se pueda hacer
$$\begin{align}&ln´(1+x^2) = \frac{-2x}{1-x^2}\\ &\\ &\\ &L= \int_{1/4}^{3/4}\sqrt{1+ \left ( \frac{-2x}{1-x^2} \right )^2}dx=\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\int_{1/4}^{3/4}\sqrt{ \frac{x^4+1-2x^2+4x^2}{(1-x^2)^2}}dx=\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\int_{1/4}^{3/4}\sqrt{ \frac{x^4+1+2x^2}{(1-x^2)^2}}dx=\\ &\\ &\\ &\\ &\text {En el numerador ha quedado un cuadrado perfecto}\\ &\\ &\int_{1/4}^{3/4}\sqrt{ \frac{(1+x^2)^2}{(1-x^2)^2}}dx=\\ &\\ &\\ &\\ &\int_{1/4}^{3/4} \frac{1+x^2}{1-x^2}= \int_{1/4}^{3/4} \left ( -1 +\frac{2}{1-x^2} \right )dx =\\ &\\ &\\ &\text{Doy por supuesto que sabes descomponer la fracción}\\ &\\ &\\ &[-x+ ln|1+x|-ln|1-x|]_{1/4}^{3/4}=\\ &\\ &-\frac{3}{4} + ln \frac{7}{4}-ln \frac{1}{4}+\frac{1}{4}-ln \frac{5}{4}+ln \frac{3}{4} =\\ &\\ &-\frac{2}{4}+ ln \frac{\frac{7}{4}\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}\frac{5}{4}}=-\frac{1}{2}+ln \frac{21}{5} \approx 0,9350845253\\ &\end{align}$$No se puede usar el editor de ecuaciones para párrafos tan largos, el ordenador se atonta y se pone a la velocidad de la tortuga. Por eso he dejado en parte de hacer lo de descomponer la fracción, pero si no sabes cómo se hace me lo preguntas.
buenas noches. disculpa sera que me puedes explicar lo de descomponer la fraccion. y si me pidieran graficar como lo podria hacer
Era la función racional
$$\frac{2}{1-x^2}$$la que teníamos que descomponer.
En la teoría de integrales que debes estar dando te explicarán todos los casos posibles sin duda.
Como primer paso el numerador tiene que tener grado menor que el denominador. Si no es así hay que hacer la división de polinomios para ponerlo como un cociente entero más un resto de menor grado entre el denominador.
Aquí no es necesario porque el numerador tiene grado menor.
Después hay que calcular las raíces del denominador y según como sean haberá que usar después un método u otro. Bueno he dicho raíces, en realidad lo que haremos es factorizar el denominador, para lo cual suele ser necesario hallar las raíces aunque no siempre.
Nosotros tenemos:
1-x^2 = (1+x)(1-x)
Cuando las raíces son todas reales y sin repetición como en este caso se puede descomponer la función en la forma
$$\frac{a}{x-r_1}+\frac{b}{x-r_2}+...+\frac{s}{x-r_s}$$Cada una de esas fracciones es integrable inmediatamente. Lo que debemos hacer es calcular el valor de los numeradores: a, b, c, etc.
Explicarlo en abstracto es complicado, vamos a resolverlo para el ejercicio que tenemos, pero el método sirve para tres, cuatro o más raíces con mayor complicación cada vez.
$$\begin{align}&\frac{2}{1-x^2}= \frac{a}{1+x}+\frac{b}{1-x}=\\ &\\ &\\ &\frac{a(1-x)+b(1+x)}{(1+x)(1-x)}=\\ &\\ &\\ &\frac{(b-a)x +a+b}{1-x^2}\\ &\\ &Luego\\ &\\ &\frac{2}{1-x^2}=\frac{(b-a)x +a+b}{1-x^2}\\ &\\ &\text {y por tanto}\\ &\\ &2 = (b-a)x + a+b\end{align}$$Esto ultimo es una igualdad de polinomios, luego debe cumplirse término a término
A la izquierda no hay término en x, luego se considera que el coeficiente es cero y tenemos
b-a = 0
y el 2 de la izquierda es el a+b de la derecha, luego
a+b= 2
Tenemos así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Para resolverlo basta que las sumes y te queda
2b=2
b=1
a+1=2
a= 1
Luego la descomposición era:
$$\frac{2}{1-x^2} = \frac{1}{1+x}+ \frac{1}{1-x}$$Y eso es todo, este caso era sencillo.
Un saludo.
Ah, lo de la gráfica.
Pues yo uso principalmente dos programas. El uno es muy sencillo y no ocupa casi nada, se llama Winplot
.http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html
El otro es más completo, se llama Geogebra. Pero también es más complicado y tarda más en arrancar:
http://www.geogebra.org/cms/index.php?lang=es
Pero hay miles de programas para graficar, y algunos mejores seguro.
