Matemática

Hagamos la división polinómica (n^3+9n-17) / (2n^2+1)
El cociente es n/2
Cociente por divisor es:
(n/2)(2n^2+1) = n^3 +n/2
Y el resto es dividendo - cociente · divisor
resto = n^3+9n-17 - n^3 - n/2 = 17n/2 -17 = 17(n/2-1)
De esta forma
(n^3+9n-17) / (2n^2+1) = n/2 + 17(n/2-1)/(2n^2+1)
Para que esa cantidad sea entera se pueden dar estos casos:
a) Primer sumando entero y segundo cero:
n será par
y n/2-1=0  ==> n/2=1 ==> n = 2
La verificamos (8+18-17)/(8+1) = 9/9 = 1
n=2 es la primera solución.
b) Ambos sumandos fraccionarios:
n debe ser impar para que n/2 sea fraccionario
17(n/2-1)/(2n^2+1) = m/2 con m impar para que sumado a n/2 sea entero
34(n/2-1)/(2n^2+1) = m
(17n - 34)/(2n^2+1) = m
Como m >=1 tendremos
(17n - 34)/(2n^2+1) >= 1
Podemos pasar el denominador al otro lado conservando el signo de la desigualdad porque 2n^2+1 es siempre positivo
17n - 34 >= 2n2 +1
2n^2 - 17n + 35 <= 0
Resolvemos la ecuación:
n = [17+-sqrt(17^2-140)] / 4 = [17+-sqrt(149)] / 4 = [17+-12,20655562]/4
n1= 1,198361096
n2 = 7,301638904
Es entre estos dos valores donde se cumple la inecuación, porque en los tramos laterales de esa parábola se tiende a +infinito que es mayor que cero. Como n es impar simplemente puede tomar los valores 3, 5 y 7
Para n=3 tenemos (3^3+9·3-17) / (2·3^2+1) = 37/19
Para n=5 tenemos (5^3+9·5-17) /(2·5^2+1) = 153/ 51 = 3 Es solución
Para n=7 tenemos (7^3+9·7-17)/(2·7^2+1) = 389/99
Luego n = 5 es la segunda solución
c) Ambos sumandos son enteros
n debe ser par para que n/2 sea entero
17(n/2-1)/(2n^2+1) = m con m entero
Como m>=1
17(n/2-1)/(2n^2+1) >= 1
17n/2 -17 >= 2n^2 + 1
2n^2 -17n/2 +18 <= 0
4n^2 - 17n + 36 <= 0
Para solucionar la inecuación solucionamos ecuación primero
n = [17 +- sqrt(17^2 -4·4·36)] / 8 = [17 +- sqrt(289 - 576)] / 8 = [17+-sqrt(-287)]/8
No hay soluciones reales, o se cumple siempre la inecuación o no se cumple nunca.
Comprobamos con n = 0
36 <= 0 es falso
Luego no se cumple nunca la inecuación y por tanto ningún valor par de n cumple lo que nos pide el problema.
Resumiendo, las únicas respuestas positivas son n=2 y n=5
Para corroborar lo dicho también lo hice con ordenador con n hasta 1000 y no había otras respuestas.
Y eso es todo.