Calcular el autovalor asociado
Buenos días:
¿Puede alguien ayudarme con este ejercicio?
Dada la aplicación lineal f(x,y,z) tal que se verifica:
f(1,0,0)=(-1,0,2) f(0,1,0)=(0,2,0) f(0,0,1)=(0,1,3)
b) Averigue si el vector v=(6,1,-3) es un autovector de la aplicación y en caso afirmativo calcular el autovalor asociado.
A la espera de su vuestras respuestas,
Gracias y Un Saludo
1 Respuesta
Las imágenes de una base puestas por columnas forman la matriz de la aplicación lineal
Luego la matriz de esta aplicación será
$$A=\begin{pmatrix}
-1&0&0\\
0&2&1\\
2&0&3
\end{pmatrix}$$No vamos a usar el polinomio carácterístico para hallar los valores propios y luego los vectores, eso sería una pérdida de tiempo mortal .
Como simplemente nos piden verificar si (6,1,-3) es un vector propio, iremos a la definición que dice: x es un vector propio de A si existe un escalar t tal que
Ax=tx
Luego vamos a multiplicar Ax y veremos el resultado.
$$Ax=\begin{pmatrix}
-1&0&0\\
0&2&1\\
2&0&3
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
6\\
1\\
-3
\end{pmatrix}
=
\begin {pmatrix}
-6\\
-1\\
3
\end{pmatrix}
=-1·x$$Luego en lo escrito arriba tienes el resultado:
El vector (6,1,-3) es vector propio de la aplicación y su valor propio asociado es -1.
Y eso es todo.
Buenas tardes Experto!!
Lo que no entiendo muy bien es de donde sale el resultado final: -1 . x
¿Qué operación has realizado para hallarlo?
Gracias de antemano,
Un cordial saludo
X el vector que nos dicen que debemos comprobar es (6,1,-3) pero transpuesto
Y hemos hecho la operación Ax nos ha dado (-6,-1,3), eso es -x o -1·x
El punto a media altura que he puesto es el signo de multiplicar, lo puse para que se distinguiera bien lo que es el autovalor (-1) de lo que es el autovector (x).
Excelente aclaración!! Si no llega a ser porque usted me ha resuelto la duda, todavía estaría esperando a que me contestara alguien del foro...
Un cordial saludo
