Supóngase que lim z->x0 f(z)=L demostrar que existen

Podemos tomar como M cualquier número mayor que |L| y mayor que f(x0)

M > max{ |L|, f(x0)}

tomamos como epsilón este

epsilon = M - |L|

entonces por la definición de límite

existe un delta >0 tal que si

0 < |z - xo| < delta se cumple |f(z) - L |< epsilon

para el epsilon que hemos tomado se cumple

|f(z) - L | < M - |L|

|L| + |f(z) - L| < M

por la desigualdad triangular tenemos

|L + f(z) - L| < |L| + |f(z)-L| < M

|f(z)| < M

Luego tomaremos sigma=delta

Y esto se cumple en el intervalo (xo-sigma, x0+sigma) salvo acaso en el punto xo.

Por eso se hace que M sea también mayor que f(x0), por si la función no es continua en xo y se le ha dado ahí un valor mayor que el límite.

Y eso es todo.