Evalúa la Suma de Riemann

Si, ahora está bien.

Recuerdo este resultado de otros ejercicios que es necesario para las sumas Riemann de polinomios.

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{j+1}}\sum_{i=1}^{n-1}i^j=\frac{1}{j+1}$$

En realidad lo habíamos demostrado para j=1,2 y 3,pero es válido para cualquier j

Puesto que confirmas el enunciado vamos a hacer que el integrando sea 2x^2+4x que es lo mismo que lo que pone

$$\begin{align}&\Delta x_i = \frac{1-(-2)}{n}= \frac 3n\\ &\\ &x_i = -2+\frac{3i}{n}\\ &\\ &\\ &S=\lim_{n\to\infty}\frac 3n\sum_{i=0}^{n-1}\left[2\left(-2+\frac{3i}{n}   \right)^2+4 \left(-2+\frac{3i}{n}   \right)\right] =\\ &\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\frac 3n\sum_{i=0}^{n-1}\left[\frac{18i^2}{n^2}-\frac{24i}{n}+8-8+\frac{12i}{n}   \right] =\\ &\\ &\\ &\lim_{n \to\infty}\left(\frac{54}{n^3}\sum_{i=0}^{n-1}i^2  -\frac{36}{n^2}\sum_{i=0}^{n-1}i  \right) =\frac{54}{3}-\frac{36}{2}=0\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &b)\\ &\\ &\int_{-2}^1(2x^2+4x)dx=\left[\frac{2x^3}{3}+2x^2  \right]_{-2}^1=\\ &\\ &\\ &\frac 23+2+\frac{16}{3}-8=\frac{18}{3}-6 = 0\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.