Calculo Diferencial: Problema de optimización para emplear la mínima cantidad de material en la fabricación de una caja

La caja tendrá dimensiones ancho (a), largo y alto (h)

Puesto que el largo es 3a el volumen será

V = a·3a·h = 3ha^2

288=3ha^2

Y la superficie es

2 veces la base + 2 veces la paredes sobre el ancho + 2 veces la pared sobre el largo

S = 2·a·3a + 2ah + 2·3a·h = 6a^2 + 8ah

Vamos a despejar h en la fórmula del volumen para tener la superficie solo en función de a

288 = 3ha^2

96 = ha^2

h = 96/a^2

Y llevando es valor a la fórmula de la superficie tenemos

S(a) = 6a^2 +8a(96/a^2) = 6a^2 + 768/a

Y derivamos e igualamos a cero

S'(a) = 12a - 768/a^2 = 0

a - 64/a^2 = 0

(a^3-64)/a^2 = 0

a^3-64 = 0

a^3= 64

a = 4

Luego el ancho es 4, entonces

h=96/a^2 = 96/16 = 6

Las dimensiones de la caja con la cantidad mínima de material son

ancho = 4''

largo = 12''

alto = 6''

Y eso es todo.

Excelente .:D