Resolver el siguiente ejercicio de problemas de toma de decisiones matemáticas
- Una compañía desea producir una lata de metal con la forma de un cilindro, l
O cual minimiza la cantidad de metal para su construcción, el cual tendrá una cantidad de V centímetros cúbicos. Sí se define que el radio de la base de la lata es r con altura h y la superficie de la lata está dada por ES entonces :
S = 2 π r² + 2 π r h
El primer término representa la combinación del área de la base y su tapa y el segundo representa el área lateral de la lata (básicamente un rectángulo) de longitud 2r y con espesor h.
El objetivo es encontrar los valores de r y h que minimicen a S para la construcción de la lata para obtener el volumen V con la están sujetos a la restricción de V= π r² h
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Básicamente nos están pidiendo minimizar la superficie para un volumen dado. Veamos las ecuaciones que tenemos...
$$\begin{align}&V = \pi r^2 h..............................(1)\\&S = 2\pi r^2 + 2\pi rh...............(2)\\&\mbox{Reemplazando (1) en (2)}\\&S = \frac{V}{2h}+2\pi rh...........(3)\\&\mbox{Despejo r de la ecuación (1)}\\&r=\sqrt{\frac{V}{\pi h}}\\&\mbox{Reemplazo en (3)}\\&S = \frac{V}{2h}+2\pi \sqrt{\frac{V}{\pi h}}h\\&\mbox{Reescribamos\ S (meto todo dentro de la raíz}\\&S = \frac{V}{2h}+\sqrt{{4\pi Vh}}\\&\mbox{derivo S respecto a h (que es la única variable que quedó)}\\&\frac{\delta S}{\delta h}=\frac{-V}{2h^2}+\frac{4\pi V}{2 \sqrt{{4\pi Vh}}} = 0\\&\frac{V}{2h^2}=\frac{4\pi V}{2 \sqrt{{4\pi Vh}}}\\&Simplificando..\\&\frac{1}{h^2}=\frac{4\pi }{ \sqrt{{4\pi Vh}}}\\&Cuentas...\\&\sqrt{4\pi Vh}={4\pi }h^2\\&\mbox{Elevo todo al cuadrado para sacar la raíz}\\&4\pi Vh={16\pi^2 }h^4\\&Simplificando...\\&V={4\pi }h^3\\&h=\sqrt[3]{\frac{V}{4\pi}}\\&\\&\\&\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$Te queda de ejercicio confirmar que eso es un mínimo (lo será, pero debes validarlo). Si no puedes confirmarlo luego lo seguimos, pero ahora debo irme.
