Calculo Diferencial: Problema de optimización para emplear la mínima cantidad de material en la fabricación de una caja
Un fabricante de cajas desea construir una caja cerrada que tenga un volumen de 288pulg, y cuya base de forma rectangular tiene el largo igual al triple de su ancho. Estime las dimensiones de la caja construida con la mínima cantidad de material.
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La caja tendrá dimensiones ancho (a), largo y alto (h)
Puesto que el largo es 3a el volumen será
V = a·3a·h = 3ha^2
288=3ha^2
Y la superficie es
2 veces la base + 2 veces la paredes sobre el ancho + 2 veces la pared sobre el largo
S = 2·a·3a + 2ah + 2·3a·h = 6a^2 + 8ah
Vamos a despejar h en la fórmula del volumen para tener la superficie solo en función de a
288 = 3ha^2
96 = ha^2
h = 96/a^2
Y llevando es valor a la fórmula de la superficie tenemos
S(a) = 6a^2 +8a(96/a^2) = 6a^2 + 768/a
Y derivamos e igualamos a cero
S'(a) = 12a - 768/a^2 = 0
a - 64/a^2 = 0
(a^3-64)/a^2 = 0
a^3-64 = 0
a^3= 64
a = 4
Luego el ancho es 4, entonces
h=96/a^2 = 96/16 = 6
Las dimensiones de la caja con la cantidad mínima de material son
ancho = 4''
largo = 12''
alto = 6''
Y eso es todo.
Te dejo un vídeo de resolución https://youtu.be/qY3BGZGY2Co es el mismo problema. Lo hicimos como trabajo practico para la universidad - Francisco Kuibida